0 引言
船舶动力定位(dynamic positioning,DP)技术是船舶凭借自身推进器的推力抵消海洋干扰力,使船舶在不同海况下保持定点定位或低速循迹的方法,被广泛应用于油气开采、海底铺管、打捞救援等领域[1]。研发具有定位精度高、收敛速度快的DP系统对海洋装备发展有着重要意义。
为了保证在复杂海况下装配DP系统的船舶能够稳定工作,研究者将自适应控制[2]、自抗扰控制[3]、智能控制[4]等控制方法应用于DP控制系统,并采用扰动观测器[5]、高增益观测器[6]、扩张状态观测器[7]等观测器对船舶不确定部分进行估计。上述策略能够保证系统的性能和鲁棒性,但抵抗海洋环境干扰能力有限,控制误差和估计误差均是渐进收敛的。为了提高船舶DP系统的收敛速度,文献[8]将有限时间理论和滑模控制相结合,提高了传统滑模控制的收敛速度,但是收敛时间取决于系统的初始状态。固定时间理论与初始状态无关,与系统参数有关,文献[9]构造了基于积分滑模和定时控制的连续固定时间扰动观测器,能够抵抗环境干扰但是无法估计船舶航行速度。针对复杂海情下船舶运动速度不可测的问题,文献[10-11]考虑模型参数不确定的问题,设计固定时间扩张状态观测器,提出的滑模控制器有效避免奇异值并且减弱了抖振现象,但是未考虑输入饱和的问题。文献[13-14]在文献[12]的基础上分别为单船和多船设计了包含辅助动态系统的固定时间滑模控制器,有效缩短了推进器处于饱和的时间。然而,实际工程受恶劣海况影响,难以确保系统的控制精度,同时系统的收敛速度也会下降。
针对上述问题,本文提出一种基于新型固定时间稳定的船舶动力定位系统非奇异快速终端滑模控制策略。所提方法与传统方法不同,采用固定时间扩张状态观测器估计船舶的运动速度和环境干扰力。针对传统滑模控制的缺点,提出一种新型固定时间非奇异快速终端滑模控制器,并结合辅助动态系统有效解决输入饱和的问题,避免奇异的问题并减弱抖振的现象。最后,在不同海况下验证所提控制策略的有效性。
1 系统的数学建模
1.1 位置参考坐标系
研究船舶运动情况需要建立参考坐标系,为了建立船舶运动学和动力学的数学模型,通常选取北东地坐标系NOE和船体坐标系XoY。图1中展示2种坐标系的投影位置关系,坐标轴顺序满足右手系准则。
图1 投影下水面船位置坐标系
Fig.1 The coordinate system of surface ship
1.2 水面船数学模型
结合图1的运动位置坐标系,水面船在低速循迹任务时处于全驱动状态,考虑海洋环境干扰下船舶三自由度非线性运动学和动力学的数学模型分别为
(1)
式(1)中:η=[x,y,ψ]T记为北东地坐标系下位置和艏向;υ=[u,v,r]T记为船舶的速度向量; M(υ)∈R3×3记为惯性质量矩阵; D(υ)∈R3×3记为阻尼矩阵; C(υ)∈R3×3记为科里奥利向心力矩阵;τd=RT(ψ)b∈R3×1记为环境干扰力和力矩;τ=[τ1,τ2,τ3]T是控制器产生的控制力和力矩。若考虑船舶输入饱和的情况,sat(τ)记为力和力矩的限幅约束:
sat(τ)=[sat(τ1),sat(τ2),sat(τ3)]T
sat(τi)=sgn(τi)·min{|τi|,τimax}
(2)
式(2)中: τimax记为控制器能够输出的最大力和力矩。
非线性变换矩阵R(ψ)记为
(3)
R(ψ)具有以下性质[8]:
(4)
(5)
S(r)=RT(ψ)S(r)R(ψ)=R(ψ)S(r)RT(ψ)
(6)
1.3 控制策略及假设
本文主要研究船舶低速作业下轨迹跟踪和定点定位控制,记ηd(t)=[xd(t),yd(t),ψd(t)]T为船舶运动期望的位置和艏向,期望艏向角记为ψd(t)=arctan(yd,xd),υd=[ud,vd,rd]T记为船舶期望速度向量。并需要做出以下合理的假设:
假设1 船舶的期望轨迹ηd(t)是关于时间t的光滑有界函数,且
和
均是有界的。
假设2 时变海洋环境干扰τd和
均有界。存在未知正常数
和
使得
和
假设3 船舶的惯性矩阵M(υ)是已知的。
水面船的数学模型,式(1)是简化模型,在实际船舶运动中D(υ),C(υ)是难以精准测量,导致模型参数出现不确定性。为了便于描述,定义系统跟踪误差
给出含有参数不确定性和外界环境干扰的船舶轨迹跟踪二阶误差动态数学模型为
(7)
式(7)中:y∈R3×1记为系统输出向量;模型参数不确定性D(υ)=D0(υ)+ΔD(υ),C(υ)=C0(υ)+ΔC(υ);集总扰动记为
(8)
为了便于后文表述,对文中使用的数学符号进行如下定义,siga(·)=|·|asign(·)其中|·|表示元素的绝对值;sign(·)表示符号函数。
2 新型固定时间稳定方法
针对二阶系统,如果存在一个连续可导函数V(t,x)且V(t,0)=0,对于任意的x∈Rn×n,若满足微分方程:
(9)
则对所有x,存在常数Tmax>0,都满足T(x)<Tmax,称该系统是固定时间收敛的,则收敛上界Tmax表示为:
(10)
式(10)中:常数
证明：根据文献[16]可知,式(9)是Lyapunov意义下稳定的且也是有限时间稳定的。故需要证明收敛时间上界为式(10)即可,证明步骤如下:
步骤1 证明微分系统式(9)在平衡点是稳定的。根据文献[16]中的假设3,V(t0)是连续的且V(t0)=0,可证明x0在零点是稳定的。
步骤2 证明当t0≤t*时,V(t*)≤1且满足:
(11)
根据矛盾原理,假设当V(t)>1时,对于任意的t∈[t0,+∞),对式(9)放缩可得:
(12)
令Z(t)=V1-p(t),式(12)乘exp(1-p)
Η(s)ds,并且从t0到T1进行积分,进行移项整理可得:
(13)
式(13)中:N=exp[-(1-p)
Η(s)ds]且N>1。
由于1-p<0,通过式(14)可推导出Z(T1)≥N-3≥0,可见与初始假设V(t)>1相反,则步骤2可证。
步骤3 证明当t≥t*时,使得V(t)=0。根据式(9),当t≥t*时,可以得到:
(15)
对式(15)左右乘以exp[(1-q)
Η(s)ds],令Z(t)=V1-q(t),从t*到t进行积分,进行移项整理可得:
(16)
由于Z(t)=V1-q(t),V(t*)≤1且0<1-q,式(16)整理可得
(17)
对不等式(17)左右两侧求时间t趋近于无穷的极限,可得V(t)≤0,为了满足V(t,x(t))≡0的条件,应该大于等于零,可以推导出如下不等式
0≤1-β(1-q)
Mdω
(18)
令0≥1-βM(1-q)(t-t*)可得
(19)
综上所述,根据步骤2得到的结论式(11)和步骤3得到的式(19),且系统是固定时间收敛的,可得系统新型固定时间收敛上界为式(10)。
因N>1,M>1,可得:
(20)
根据式(20)可知,本节所提出新型固定时间稳定方法收敛时间上界比文献[15]的收敛时间上界更小,因此当参数相同时,式(9)的收敛速度较快。该方法的一个亮点在于引进了随时间变化的Η(t)函数,通过改变Η(t)函数提升DP系统远离平衡点时的收敛速度,进而减小跟踪误差。
3 固定时间扩张状态观测器设计
针对船舶作业速度和集总扰动难以测量的问题,采用一种固定时间扩张状态观测器,其能测量船舶的航行速度及外界集总扰动。固定时间扩张状态观测器如下[17]:
(21)
式(21)中:
由式(21)可知,固定时间扩张状态观测器的收敛时间与参数值有关,即可以通过修改合适的参数值使得估计误差在固定时间内收敛。采用固定时间观测器式(21),能够精准估计系统中的速度和集总扰动,系统(7)可转化为
(22)
4 固定时间TSM控制器设计
本节结合固定时间扩张状态观测器估计船舶速度和集总干扰,设计一种新型固定时间非奇异快速终端滑模控制器,最后,证明了全闭环系统的定时稳定性。船舶动力定位系统闭环示意图如图2所示。
图2 船舶动力定位系统结构
Fig.2 Structural picture of DP system
4.1 固定时间非奇异快速终端滑模面设计
针对船舶航行跟踪误差模型式(7),为了控制跟踪误差x1和误差x2在固定时间收敛至零点,设计固定时间非奇异快速终端滑模面为
S=Γ(x1i)x1+sigγ(x2)
(23)
式(23)中:Γ(x1i)=diag(Γ11,Γ12,Γ13)是对角矩阵,γ>0, Γ1i(x1i)定义如下:
Γ 1i(x1i) = [Η(t)
+β
]γ
(24)
式(24)中,α>0,β>0,p>1,0<q<1,使得对任意的x1i∈R6×1,可得Γ(x1i)>0。
固定时间非奇异快速终端滑模面使得式(23)的状态误差x1和x2可在固定时间收敛到平衡点,收敛时间上界T与系统初始状态无关,且收敛时间上界为
(25)
式(25)中:
证明：令式(23)滑模面S=0,可得
sign(x2i)=-x1iΓγ(x1i)
(26)
由式(26)可知,当x2i>0时,x1i<0。当x2i<0时,x1i>0可得如下等式:
sign(x1i)=-sign(x2i)
(27)
将式(24)和式(27)代入式(26)可得
|x2i|γ=|x1i|[Η(t)
+β
]γ
(28)
由式(27)和式(28)整理可得
(29)
根据新型固定时间稳定方法式(9)收敛时间上界可估计为式(25)。
4.2 固定时间输出反馈滑模控制器设计
为了解决推力系统输入饱和的问题,本节结合新型固定时间稳定的方法,提出一种辅助动态系统,首先对误差导数改写成
该系统可以限制控制输入饱和提高系统稳定性[18],辅助动态系统为
(30)
式(30)中:Δτ=τc-τ,τc记为限幅后的力;ξ记为辅助动态系统产生的饱和补偿;A,B∈R3×3记为增益矩阵;
使辅助动态系统收敛。
证明：辅助动态系统能够在固定时间T3内收敛至平衡点,选取如下Lyapunov函数进行证明:
(31)
对式(31)两边求导,整理可得
(32)
式(32)中:λmin(A)表示A的最小特征值;λmin(B)表示B的最小特征值。
辅助动态系统能在固定时间内收敛,收敛时间上界为
(33)
为了实现控制目标,结合固定时间扩张状态观测器式(21),设计如下固定时间输出反馈控制器:
(34)
式(34)中:0<λ1<1;λ2>0。
Δ=
x1=γ[Η(t)
+
(35)
考虑因为|x2|1-γ所引起的奇异问题,引入非线性约束函数向量με。为了解决因符号函数sign(·)使非奇异快速终端滑模控制器引起抖振现象,设计饱和函数设计fsat(·)如下:
(36)
(37)
式(36)、式(37)中,εs>0,0<ζ<1。
4.3 系统稳定性证明
考虑动态误差系统式(7),在假设条件下,采用固定时间扩张状态观测器式(21),估计船舶运动速度和环境干扰力,设计固定时间非奇异快速终端滑模控制器式(34),则船舶运动跟踪误差可在固定时间T内收敛至平衡点。
证明：选取如下Lyapunov函数:
(38)
等式(38)左右对时间求导,并将式(23)代入可得:
-STμε[Η(t)sig(S)+αsigγ1(S)+βsigγ2(S)]≤
min(με)[-STΗ(t)sig(S)-αSTsigγ1(S)-
(39)
式(39)中:
根据新型固定时间稳定方法式(9),新型固定时间非奇异快速终端滑模控制器式(34)能够使得系统跟踪误差收敛至平衡点,收敛时间上界为
(40)
综上所述,DP系统在时间Tmax内收敛至平衡点,且闭环系统是固定时间稳定的,且收敛时间表示为
Tmax≤T1+T2+T3
(41)
5 仿真验证
为了验证本文中设计的新型固定时间非奇异快速终端滑模控制器的合理性和有效性,以配备DP系统的供应船作为对象,实验所使用的船舶参数参考文献[19],该船体长度为76.2 m、船体质量为4×106 kg。仿真环境设置如下:
1) 初始位置及艏向η(0)=[0 m,-2 m,150°]T,初始速度υ(0)=[0 m/s,0 m/s,0(°)/s]T;
2) 不确定性参数ΔD=10%D0,ΔC=10%C0;
3) 假设船舶的推进器在执行任务时不会发生故障,且初始推力τ(0)=[0,0,0]T N,推进器能够输出力和力矩的幅值分别为|τ1|,|τ2|≤5×106 N、|τ3|≤3.5×108 N·m;
4) 期望的跟踪路径xd(t)=-300sin(0.003πt)m, yd(t)=0.3 tm,期望艏向角ψd(t)=arctan(Δx/Δy);
5) 仿真采样步长为0.2 s,总时间1 000 s。当0～330 s时船舶按照期望路径进行轨迹跟踪,330～1 000 s时船舶实现定点定位控制。
为了验证4.2节中设计的新型固定时间非奇异快速终端滑模控制器的控制效果和系统的收敛速度,选择以下2种控制器进行性能比较:文献[7]的控制策略记为方案1,文献[20]的控制策略记为方案2,本文提出未含饱和补偿的控制策略记为方案3,含有辅助动态系统的控制策略记为方案4。仿真相关参数如下:
控制器的参数为Η(t)=1/(1+t2)+1,α1=0.9,α2=1.1,α=β=diag[0.2,0.2,0.5],k1=k2=0.5,γ1=1.1,γ2=1.4。辅助动态系统:ξ(0)=5×104[1,1,1],A=B=diag([1,1,1])。
实验1：普通海况下,对3种控制器进行仿真对比,验证输入饱和情况下控制器的控制效果和系统收敛速度。干扰模型采用一阶马尔科夫过程
干扰初值b(0)=[5 kN,5 kN,5 kNm]T, Ψb=103diag[1,1,1], Eb=105diag[1,1,10]。实验1的3种控制器跟踪误差如图3所示,实验1的3种控制器的力和力矩如图4所示。实验1输入饱和下控制器的力和力矩如图5所示。
图3 实验1的3种控制器跟踪误差
Fig.3 Three controllers’tracking errors in test 1
图4 实验1的3种控制器的力和力矩
Fig.4 Three controllers’forces in test 1
图5 实验1输入饱和下控制器的力和力矩
Fig.5 Controller forces and moments under input saturation in test 1
观察图3中3种控制策略下船舶的跟踪误差可以发现,3种方案均能保证船舶的位置和艏向趋近于期望点,并且长时间实现镇定,系统收敛时间和3个自由度的跟踪误差见表1所示,可见方案3收敛速度较快、控制精度较好。图4展示存在输入饱和情况下3种方案控制器输出的力和力矩的对比效果。为了提高收敛速度方案3输出的力和力矩较大,导致一段时间内处于幅值饱和状态。同时,为了保证跟踪效果控制器会输出一个反向较大的力,导致超调的产生可能会引起再次饱和的情况。
表1 3种控制器性能指标
Table1 Three controllers’performance index
控制器方案2实验1实验3方案4实验1实验3收敛时间/s10.414.22.24.6∫Tfinal0xedt3 6725 6921 222.31 752.6∫Tfinal0yedt1 955.62 559.2677.7825.8∫Tfinal0ψedt37.1188.923.277.1
在方案3的基础上增加辅助动态系统记为方案4。从图5局部放大图能够看出,方案4在3个自由度上减少了处于饱和的时间,艏摇上方案4饱和时间为0.6 s小于方案3的1.2 s,与方案3相比,方案4在3个自由度幅值饱和时间有效缩短,控制器输出的力和力矩更加平滑,消除了超调量。
实验2：对比有限时间扩张状态观测器FTESO[12]和FXESO观测器对船舶速度和海洋干扰力估计效果的准确性。2种扩张状态观测器参数如下:μ1=ε1=μ2=ε2=1.2,μ3=ε3=0.6,α1=0.9,α2=0.8,α3=0.7,β1=1.2,β2=1.4,β3=1.6。
图6和图7分别是2种扩张状态观测器对海洋环境干扰力和船舶速度的估计对比仿真图。可见,FTESO和FXESO均能对海洋干扰力和船舶航速度进行估计。但是,通过观察图6局部放大图可以发现,FTESO与FXESO相比,估计海洋环境干扰力产生的估计误差较大,局部误差在10kN以上,相反FXESO对海洋环境干扰力的估计较为精确,估计误差较小。对比图7中2种扩张状态观测器对速度估计发现FXESO具有更快的响应速度,且估计误差较小,能够在短时间内估计出船舶真实航行速度。综上所述,FXESO估计精度较高、估计速度较快,FXESO估计性能优于FTESO。
图6 实验2的干扰力和力矩估计效果
Fig.6 Disturbing force’sestimated effect in test 2
图7 实验2的船舶航行速度估计效果
Fig.7 Ship’s speed of estimated effect in test 2
实验3：干扰增强后对3种控制器进行仿真对比。水流速度υc=0.1 m/s,干扰初值b(0)=[5 kN,5 kN,5 kNm]T, Ψb=103diag[1,1,1],Eb=3×106diag[1,1,100]。
观察图8和图9中3种控制策略在干扰增加后,船舶的跟踪误差和航行速度可以发现,受到强干扰的影响下3种方案都能在330 s后使船舶跟踪误差保持在5 m安全范围内,并且船舶的各个状态都能实现镇定。结合图3和图8这2种海况下船舶的跟踪误差效果图不难发现,方案1、方案2与方案4相比,受到强干扰时控制精度降低,导致系统跟踪误差的收敛速度变慢。图9展示了3种控制器作用下船舶的航行速度变化,方案1和方案2的控制策略因为含有符号函数,所以出现了明显的抖振现象,无法控制速度镇定,而方案4对符号函数进行了改进,有效减弱抖振现象,能够使船舶航行速度镇定为零。
图8 实验3的3种控制器跟踪误差
Fig.8 Three controllers’tracking errors in test 3
图9 实验3的3种控制器速度控制
Fig.9 Three controllers’ speed effect in test 3
图10展示了3种控制器输出力和力矩的大小,高海况下采用辅助动态系统的方案4能有效减小方案3推进器处于饱和的时间,输出力和力矩的大小与方案2接近,但控制效果优于方案2。综上所述,方案4抵抗外界干扰的能力较强,收敛速度和控制精度受高海况影响较小,具有较强的鲁棒性和稳定性。
图10 实验3的3种控制器的力和力矩
Fig.10 Three controllers’forces in test 3
表1展示了2种控制器在不同海况下的收敛时间和跟踪误差总和。从表1中可以看出,方案2在3个自由度上的跟踪误差总和均大于方案4的,随着海洋干扰力变大,方案2的3个自由度跟踪误差总和从5 664.7增加到8 440.1,累计跟踪误差增速较快。方案4的3个自由度跟踪误差总和从1 923.2增加到2 655.5,累计跟踪误差增长较缓。综上所述,本文中提出的方案4具有较强的抗干扰能力,且收敛速度和跟踪误差均小于方案2。
6 结论
1) 新型固定时间稳定模型有效降低了系统收敛时间上界,且与系统的初始参数无关。
2) 基于新型固定时间稳定的非奇异快速终端滑模控制器能够抵抗干扰并降低模型不确定性产生的影响,与传统方法相比,收敛速度有效提升,3个自由度累计跟踪误差明显缩减,各项参数均优于传统方法。
3) 辅助动态系统能够在保持收敛速度和跟踪误差不变的情况下,缩减控制器输出力和力矩处于幅值饱和的时间,一定程度上可降低船舶推进器故障率。
综上所述,本文中所提方法能明显提升动力定位系统的定位精度和响应速度,具有较好的实际应用价值。
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