0 引言
轻量化设计广泛应用在航空航天、机械重工、船舶工程等领域[1-2],目前轻量化设计主要有2个思路:一是通过更轻质的复合材料代替传统的金属材料[3];二是通过改变材料的分布形式,提高材料的利用率[4]。传统依靠设计人员的经验或者反复迭代得到最优结构的设计方法难以完成复杂结构的优化,随着计算机技术的发展,利用仿真计算进行设计逐渐成为主流,对此大量学者进行了研究[5-12]。
文献[5]探讨了一种依次对加强筋位置、结构参数进行优化的方法,通过单元的应变能密度敏感性来确定加强筋单元去留,用二阶泰勒展开逼近目标函数和约束函数,经实例证明该方法有效。拓扑优化是一种常用的轻量化设计方法,但目前主流的拓扑优化方法存在灰度单元问题[6-11]。例如文献[7-8]采用分级拓扑优化方法对航空航天中的薄壁结构进行优化设计,达到比单级拓扑优化更好的优化结果。文献[9-11]均是采用拓扑优化方法与静动态分析相结合的方法对复杂异型结构进行拓扑优化并根据结果重构模型来提高结构的性能或者减重。文献[12]提出拓扑优化与增材制造结合的轻量化设计方法,并解决了增材制造结构强度不够需要后处理的问题。
上述研究较为深入,并且得出了相关的重要结论。然而目前在有限元计算和算法协同仿真优化的研究较少,例如:文献[13-14]均只是通过建立设计参数、约束条件以及优化目标的代理模型,再借助不同的优化算法对代理模型进行目标优化,并未真正实现算法与仿真联合。
随着增材制造技术的发展[15],中空结构的一体化制造成为了可能。基于这一思想,本研究中实现在改进遗传算法中加入有限元计算结果,通过对离散结构的大小、位置的优化以及离散结构的合并来实现结构的优化,能达到与拓扑优化类似的优化效果,且优化结果可直接用于工程,最后通过航空航天中常见的板状结构(某型火箭弹尾翼)的中空轻量化设计实例来证明该方法可行。
1 遗传算法
1.1 遗传算法及多种群遗传算法
20世纪70年代,Holland 教授通过模仿生物的自然进化过程提出遗传算法[16],然而普通遗传算法存在早熟这一缺点,引入多个种群是改善这一缺点的一种有效方法,多种群遗传算法相对于普通遗传算法的区别有:
1) 引入多个种群,不同的种群由不同的参数控制;
2) 不同种群之间通过移民算子进行联系;
3) 人工选择算子筛选各种群中的优秀个体构成精英种群,并以此判断是否收敛;
4) 全局搜索能力由交叉算子决定;局部搜索能力由变异算子决定,一般选择较大的交叉概率(0.7～0.9)和较小的变异概率(0.001～0.5)[17-18]。
1.2 遗传算法编码方式的改进
传统遗传算法在解决数学问题时一般通过二进制编码长度来控制搜索步长,且编码长度越长,搜索结果越精确[17]。在遗传算法与有限元计算联合仿真的过程中,由于加入了有限元计算这一模块,当减小搜索步长带来的增益很小时,继续减小搜索步长会增加有限元计算次数,降低搜索效率。而传统的编码方式不便于直接控制搜索精度和计算效率,为解决这一问题,将传统的编码方式进行改进,改进后编码长度的数学表达式为
(1)
式中:mai、mbi分别为第i个设计变量的上限和下限;ni为第i个设计变量搜索步长;S为个体二进制编码长度。
1.3 适应度函数
遗传算法中的适应度函数是模仿自然界生物体对自然环境的适应能力,可视为优化的目标[18]。联合仿真程序中,适应度函数(总目标函数)可视为两部分组成,即尾翼体积最小目标和满足约束条件目标,其中约束条件目标又包括所受最大应力最小目标及最大变形最小目标。
本研究中采用外点法将分目标耦合成总目标函数,外点法的数学表达:
对于约束问题:
(2)
可定义函数:
(3)
式中:σ为罚因子;σP(x)为惩罚项;F(x,σ)为罚函数。
在本研究中,约束问题为
(4)
可取式(3)为
(5)
式中:P′(xn)、P″(xn)分别为尾翼受载时的最大应力目标、最大变形目标; f′(xn)为尾翼体积目标;α、β为罚因子,其取值可根据最大应力值、最大变形值和尾翼的体积重要的侧重程度取定。
2 联合仿真优化设计程序
2.1 联合仿真优化步骤
在Matlab中编写程序实现在遗传算法中加入有限元计算结果,在此以普通遗传算法和有限元计算联合仿真为例介绍其过程,联合仿真的程序如图1所示。
图1 遗传算法联合仿真程序框图
Fig.1 Genetic algorithm joint simulation block diagram
其实现步骤为:
步骤1 设定基本参数,包括种群规模(NIND),最大进化次数(MAXGEN)、代沟(GGAP)、参数取值范围和搜索步长;
步骤2 初始化种群;
步骤3 对种群解码,得到设计变量参数,并写入文件;
步骤4 调用APDL读取上一步骤的设计参数,而后进行参数化建模、网格划分、求解、输出结果;
步骤5 将ANSYS输出的结果作为约束条件,采用外点法,将含有约束条件的目标函数转化为无约束的总目标函数;
步骤6 根据约束条件和目标函数确定适应度函数,并进行选择、交叉、变异等操作,得到新一代种群;
步骤7 进入循环,重复步骤3—步骤6,若在此期间达到终止条件,则退出循环,输出优化结果;若未满足终止条件,则继续迭代。
2.2 关键代码介绍
联合仿真优化设计程序关键代码如下:
Matlab与APDL连接时,可采用MATLAB的system函数或者“!”对APDL进行调用,同时将主权交给APDL运行,其具体代码如下:
!SET KMP_STACKSIZE=10240k &"D:\ANSYSInc\v182\ANSYS\bin\winx64\ANSYS182.exe" -b -i“文件名”.txt -o outfile.out
APDL在完成模型的建模、加载、网格划分、求解等步骤之后需要将求解结果写入文件,便于MATLAB读取并处理数据,APDL输出求解结果的关键代码如下:
ALLSEL
NSORT,U,SUM,0,0,ALL
*GET,MAX_U,SORT,0,IMAX
*GET,MAXU,NODE,MAX_U,U,SUM
*cfopen,C:\“文件路径”\“文件名”,txt
*VWRITE,MAXU
(F10.3)
其中:MAX_U表示输出最大变形,MAX_SEQV表示输出最大应力。
APDL在完成了有限元计算,输出了计算结果后,主权回到MATLAB中,此时MATLAB需要对APDL输出的计算结果进行处理,读取输出结果的关键代码如下:
fid=fopen('文件名.txt');
consA(i,:)=textread('文件名.txt','%f');
fclose(fid);
3 优化实例
针对上述提出的联合仿真优化设计方法,以某型号火箭弹尾翼的轻量化设计为例,验证其可行性。
3.1 实心尾翼受力分析
某型火箭弹尾翼为实心尾翼,如图2所示。由某型号合金材料制造,材料参数见表1所示。两支耳处受固定约束,翼面受到0.107 MPa的均布载荷。模型的尺寸参数及详细受力情况分析参见文献[19]。
表1 材料主要参数
Table 1 Main parameters of materials
参数数值参数数值弹性模量E/MPa2.06×105泊松比μ0.3密度ρ/(kg·m-3)7 089σb/MPa1 080
图2 某型火箭弹及其尾翼
Fig.2 A rocket projectile and its tail fin
对原实心进行受力分析,结果如图3所示。
图3 实心尾翼静力学分析
Fig.3 Static analysis of a solid tail
由静力学分析云图可知:最大变形为4.91 mm、最大应力为867.97 MPa;支耳处以及靠近支耳处的翼面应力较大,远离支耳的翼面应力降至192.92 MPa以下,设计存在较大的冗余。
3.2 初步设计
参照机翼的结构,将尾翼设计为桁肋加蒙皮式。在展向依次添加n根宽度为15 mm的加强筋,同时用加强筋将设计区域展向的长度均分,并在每添加一根加强筋时做一次有限元计算得到展向加强筋数量与尾翼最大应力、最大变形以及尾翼质量的变化关系曲线,如图4所示。按相同的方法在弦向添加加强筋,得到弦向加强筋数量与尾翼最大应力、最大变形以及尾翼质量的变化关系曲线,如图5所示。由图可知:两个方向上,随着均布加强筋数目的增加,尾翼的质量不断增加,最大应力、最大变形逐渐减小,且当展向加强筋数目为7,弦向加强筋数目为2时,最大变形、最大应力随加强筋数目增加而减小的趋势不再明显。
图4 展向加强筋数目与最大应力、最大变形关系
Fig.4 Spanwise stiffener number and maximum stress,maximum deformation relationship
图5 弦向加强筋数目与最大应力、最大变形关系
Fig.5 Number of chord stiffeners and maximum stress,maximum deformation relationship
考虑到后续优化设计时设计参数不宜过多,并兼顾质量、变形、应力及其变化的趋势,分别在展向和弦向布置7根和2根加强筋,布置方案如图6所示。
图6 均布加强筋初始布置方案
Fig.6 Initial arrangement of uniform stiffeners
通过初步设计确定加强筋的数目,但是加强筋的大小和加强筋在设计区域中的相对位置难以用经验设计取得,联合仿真优化设计程序可用以解决该问题。
将加强筋的宽度、相对位置以及外蒙皮的厚度等变量参数化,在兼顾减重效果和设计效率的前提下,通过4个参数控制一个加强筋形状和位置,其示意图如图7所示。其中:P1～P14分别为7根展向加强筋两端的宽度参数,P15～P18分别为2根弦加强筋两端的宽度参数;Q1～Q14分别为7根展向加强筋两端的位置参数,Q15～Q18分别为2根弦加强筋两端的位置参数,其取值范围参见表2。由表2设计参数取值范围可知,每一个设计参数均取自于对应的设计参数范围内,若2根加强筋的控制参数均相同即两根加强筋重合,达到了优化加强筋数目的效果;若设计参数控制的区域存在部分重合,即达到了加强筋部分合并的效果。
表2 设计变量取值范围
Table 2 Design variable value range
参数取值范围/mm搜索步长/mmP1～P18[5,20]1Q1～Q16[-70,373]7Q17～Q18[55,181]2T[1,2.5]0.1
图7 加强筋参数化示意图
Fig.7 A parametrized sketch of stiffeners
3.3 联合仿真优化设计
以最大应力、最大变形在工程允许的变化范围为约束条件,以尾翼体积最小为搜索目标,利用上述优化设计程序,进一步优化加强筋的位置和宽度参数。
可建立以下数学模型:
(6)
式中:v为尾翼总体积;Dx、Sx分别是寻优过程中尾翼的最大变形、最大应力;D0、S0分别原实心尾翼的最大变形、最大应力;ai、bi分别为第i个设计参数的上下限;T为外蒙皮的厚度参数。
根据搜索精度的需要原实心尾翼体积、静力学分析结果及两者寻优过程中的变化量的数级,取适应度函数罚因子α、β的值分别为1、100。将交叉和变异概率均设置为0.7,参照实心尾翼的最大变形和最大应力得到适应度函数。用遗传算法寻优时,种群个体数目一般设置为40～100个,在联合仿真这一过程中,种群个体数目对寻优效率有很大的影响,故在此通过试验方法确定种群个体数目[20]。种群个体数目分别设置为50、75、100,进化代数设置为100代,经过迭代得到结果,尾翼的体积与进化代数的曲线如图8所示。
图8 种群个体数与进化速率关系图
Fig.8 Relationship between population number and evolution rate
由图8可知,在种群个体数目为75时,进化的速率不再随种群个体数目的增加而加快,故可以认为此时种群达到了最佳进化效率。
设置种群个体数目为75,经过150次迭代得到尾翼优化结果,尾翼的体积与进化代数的曲线如图9所示,进化过程中设计区域材料分布情况及变形云图如图10—图11所示。
图9 最优尾翼的体积与迭代次数关系
Fig.9 Volume versus number of iterations for an optimal tail
图10 最优个体加强筋布置方案及变形云图(20/50代)
Fig.10 Optimal individual reinforcement layout scheme and deformation nephogram (20/50 Gens)
图11 最优个体加强筋布置方案及变形云图(100/150代)
Fig.11 Optimal individual reinforcement layout scheme and deformation nephogram (100/150 Gens)
3.4 结果分析
对迭代至150代的最有个体进行有限元分析,结果如图12所示,可知最大变形为5.11 mm,最大应力为875.73 MPa。
图12 第150代最优个体静力学分析
Fig.12 150th generation optimum individual static analysis
原实心尾翼、以及迭代过程中最优个体的受力特性如表3所示,可知:相对于原设计,尾翼的最大变形随着进化次数的增加而增大,但仍在工程许可的范围内,尾翼的体积和最大应力随着进化次数的增加而减小,说明材料的利用效率在增加。在150代时,最优个体的体积相对于原实心尾翼降低了31.52%,达到了较好的轻量化设计效果。
表3 优化过程中尾翼应力、变形特性
Table 3 Stress and deformation characteristics of tail fin during optimization
尾翼状态最大变形数值/mm变化比例/%最大应力数值/mm变化比例/%体积数值/mm变化比例/%原实心尾翼4.912-868.0-797 500-第20代5.094+3.71884.3 +1.88584 400-26.72第50代5.107+3.97879.9 +1.37561 300-29.61第100代5.104+3.91876.8 +1.01549 800-31.06第150代5.106+3.95875.7 +0.89546 100-31.52
用多种群遗传算法搜索尾翼设计区域参数最优值。设定参数种群个数为4,每个种群个体数目为40,其他条件相同,经过进化,得到尾翼体积的变化曲线如图13所示。由图13可知,多种群遗传算法在搜索控制参数时,收敛性更好;且普通遗传算法在150代时搜索到最优尾翼体积为 547 330 mm3,而多种群遗传算法在36代时搜索到最优尾翼体积为546 451 mm3,说明在联合仿真寻优的过程中,多种群遗传算法较普通遗传算法具有更好的搜索效率。
图13 多种群遗传算法寻优进化曲线
Fig.13 Multi population genetic algorithm optimization evolution curve
4 结论
1) 编写了在遗传算法迭代的过程中加入有限元计算步骤的优化设计程序,实现了遗传算法以及多种群遗传算法和有限元计算的联合仿真,并用于火箭弹尾翼轻量化设计,表明该优化设计程序可行。
2) 改进了遗传算法的编码方式,使其能更好的控制优化过程中设计参数的搜索精度,更适用于实际工程。
3) 在优化过程中不仅实现离散体的大小和位置的优化,而且还能根据结构受力的实际需要实现离散体合并或部分合并来对离散体数目进行优化,拓宽了优化设计空间。
4) 在联合仿真结构优化设计的过程中,多种群遗传算法寻优效果较普通遗传算法更好。
采用联合仿真优化设计方法对火箭弹尾翼进行优化设计,在满足受力要求的前提下,降低了约30%的结构质量,达到了较好的轻量化效果,具备一定的工程价值。
[1] 王博,郝鹏,田阔,等.航空航天结构轻量化设计与实验方法研究进展[J].宇航学报,2023,44(4):596-606. WANG Bo,HAO Peng,TIAN Kuo,et al.Advances in lightweight design and experimental methods for aerospace structures[J].Journal of Astronautics,2023,44(4):596-606.
[2] 廖文和,戴宁.航空航天结构轻量化设计制造技术发展现状与挑战[J].南京航空航天大学学报,2023,55(3):347-360. LIAO Wenhe,DAI Ning.Development and challenge of lightweight design and manufacturing technology for aerospace structures[J].Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2023,55(3):347-360.
[3] AHMAD F,CHOI S H,PARK K M.A review:Natural fiber composites selection in view of mechanical,light weight,and economic properties[J].Macromolecular Materials and Engineering,2015,300(1):10-24.
[4] ZARGHAM S,WARD A T,RAMLI R,et al.Topology optimization:a review for structural designs under vibration problems[J].Structural and Multidisciplinary Optimization,2016,53(6):1157-1177.
[5] LI J K,MA K.A kind of optimization method on plate-shell structures with stiffeners[J].Applied Mechanics &Materials,2015,3753(723):234-239.
[6] ANDREASSENE,CLAUSEN A,SCHEVENELS M,et al.Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code[J].Structural and Multidisciplinary Optimization,2011,43(1):1-16.
[7] BELYTSCHKOT,XIAO S P,PARIMI C.Topology optimization with implicit functions and regularization[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2010,57(8):1177-1196.
[8] 王博,周子童,周演,等.薄壁结构多层级并发加筋拓扑优化研究[J].计算力学学报,2021,38(4):487-497. WANG Bo,ZHOU Zitong,ZHOU Yan,et al.Concurrent topology optimization of hierarchical stiffened thin-walled structures[J].Journal of Computational Mechanics,2021,38(4):487-497.
[9] 刘镔,李勇,申亚琳.基于拓扑优化的航炮炮塔轻量化研究[J].兵器装备工程学报,2022,43(1):86-92. LIU Bin,LI Yong,SHEN Yalin.Research on lightweight of aircraft gun turret based on topology optimization[J].Journal of Military Equipment Engineering,2022,43(1):86-92.
[10] WANG J,ZHU J,HOU J,et al.Lightweight design of a bolt-flange sealing structure based on topology optimization[J].Structural and Multidisciplinary Optimization,2020,62(6):1-16.
[11] 王锋锋,杨国来,王殿荣,等.某迫击炮座钣的试验与轻量化设计研究[J].振动与冲击,2020,39(17):76-81,105. WANG Fengfeng,YANG Guolai,WANG Dianrong,et al.test and lightweight design for a mortar base plate[J].Vibration and Impact,2020,39(17):76-81,105.
[12] ALI R,VINCENT I,KAMRAN B.Design for stressed and additively manufactured lightweight structures[J].Mechanics Based Design of Structures and Machines,2023,51(11):6393-6409.
[13] 唐佳栋,娄斌,叶尚军,等.基于卷积神经网络和松鼠优化算法的机翼结构混合优化设计[J].力学季刊,2022,43(2):217-226. TANG Jiadong,LOU Bin,YE Shangjun,et al.Hybrid optimization design of wing structure based on convolution neural network and squirrel search algorithm[J].Mechanics Quarterly,2022,43(2):217-226.
[14] 高吴浩,陈永琴,苏三买,等.反推力装置结构优化设计[J].航空动力学报,2022,37(8):1724-1731. GAO Wuhao,CHEN Yongqin,SU Sanmai,et al.Structural optimization design of thrust reverser[J].Journal of Aerodynamics,2022,37(8):1724-1731.
[15] WANG Z P,ZHANG Y C,BERNARD A.Lightweight porous support structure design for additive manufacturing via knowledge-based bio-inspired volume generation and lattice configuration[J].Virtual and Physical Prototyping,2022,17(4):894-918.
[16] LIN D C,ANDERSON-COOK M C,HAMADA S M,et al.Using genetic algorithms to design experiments:areview[J].Quality and Reliability Engineering International,2015,31(2):155-167.
[17] SHIX,LONG W,LI Y,et al.Research on the performance of multi-population genetic algorithms with different complex network structures[J].Soft Computing:A Fusion of Foundations,Methodologies and Applications,2020,24(17):13441-13459.
[18] 王辉,史峰,郁磊,等.MATLAB智能算法30个案例分析[M].2版.北京:北京航空航天大学出版社,2015:69-77. WANG Hui,SHI Feng,YU Lei,et al.Analysis of 30 cases of MATLAB intelligent algorithm[M].2th edition.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press,2015:69-77.
[19] 杨辉,王琦,何国毅,等.基于响应面优化的导弹尾翼轻量化设计[J].弹箭与制导学报,2022,42(6):79-84. YANG Hui,WANG Qi,HEGuoyi,et al.Research on lightweight design of aircraft plate components based on response surface[J].Journal of Projectiles,Rockets,Missiles and Guidance,2022,42(6):79-84.
[20] 胡嘉欣,芮姝,高瑞朝,等.飞行器结构布局与尺寸混合优化方法[J].航空学报,2022,43(5):225363-225363. HU Jiaxin,RUI Shu,GAO Ruichao,et al.Hybrid optimization method for structural layout and size of flight vehicles[J].Acta Aeronauticaet Astronautica Sinica,2022,43(5):225363-225363.