0 引言
液压系统具有响应速度快、精度高、可靠性好等多种优势,但由于存在动力非线性和参数不确定等因素,使得其在精确控制方面不易实现[1]。PID算法由于原理简单、易于实现,常被用于控制大型机械设备,但由于液压系统的非线性,往往需要将PID和其他算法结合,增加了算法的复杂性[2-3];针对液压系统受未知外干扰的问题,王立新等[4-6]采用自抗扰控制的方法,通过动态补偿来抑制外干扰对系统的影响;刘乐等[7]针对具有输入饱和的非对称缸电液伺服系统的位置跟踪控制问题,提出基于模糊干扰观测器的反步控制方法(Backstepping),然而该控制器对系统模型的准确性要求较高,容易产生较强的抖振现象;汪成文等[8]针对阀控电液位置伺服系统未建模摩擦力、参数不确定性和外部随机干扰造成的复合扰动问题,提出基于扩张状态观测器(ESO)的反步滑模控制(BSMC)方法,该控制器能够减小抖振幅度,却会导致抖振频率增大;施光林等[9]针对一类模型中存在未知非线性函数以及未知参数的阀控非对称液压缸电液位置系统,设计自适应鲁棒控制策略(ARC)以提高系统的跟踪精度和鲁棒性能,该控制器具有良好的鲁棒性,能够有效地抑制参数不确定性和外部扰动对系统性能的影响,然而该控制器设计和实现的复杂性较高。综上所述,在液压系统的控制方面,目前的研究主要出现了2个主题:未知状态的估计与控制信号的计算。
基于上述分析,目前该领域存在的问题主要是:状态估计算法过于复杂不易实现,控制信号计算结果并非最优。针对上述2个问题,本文中采用线性扩张状态观测器(LESO)的线性时变模型预测控制(LTV-PMC)方法。LESO在对非线性系统和具有不确定性的系统进行状态估计时,具有良好的精度和鲁棒性;LTV-PMC通过反馈校正和滚动优化,能够更好地计算出控制信号的输入值。首先,通过对起竖液压系统工作机理进行分析,建立状态空间方程,并通过递推最小二乘法对系统不确定参数进行辨识;其次,设计LESO估计对系统实时状态进行估计;然后,通过LTV-MPC计算并输出电压伺服信号的最优解,控制起竖液压系统的动作;最后,通过对比不同方法的仿真与试验结果,相较于反步控制(Backstepping)、反步滑模控制(BSMC)、自适应鲁棒控制(ARC)等方法,LESO-LTV-MPC控制误差更小、稳定性更强,即验证了本文中所提方法的有效性。
1 系统描述与模型建立
1.1 系统描述
典型起竖液压系统工作过程如图1所示。系统由液压泵、液压阀、液压缸、传感器和控制器等部分组成。由传感器采集起竖角度、油缸位移和油缸压力等信号,通过状态观测器估计系统的当前状态。控制器根据当前状态计算出最优控制信号,并通过该信号控制比例阀阀芯的位移来控制流量,从而控制起竖油缸活塞杆的运动。活塞杆的直线运动又通过铰链机构转为起竖臂的旋转运动,最终控制起竖臂到达指定角度,完成起竖功能。
图1 起竖液压系统工作流程
Fig.1 Working process of hydraulic erection system
1.2 系统数学模型
液压起竖机构电液伺服系统如图2所示。通过对其运行机理分析,建立各部分系统方程[10]。
图2 起竖系统液压原理
Fig.2 Hydraulic principle of erection system
根据系统流量方程和力平衡方程,定义
可推导起竖液压系统的数学模型为
(1)
式(1)中:y为活塞位移;xv为阀芯位移;m为起竖负载;A1、A2分别为起竖压缸左右两腔活塞杆有效面积;B为粘性阻尼系数;Af、Sf、 f分别为库伦摩擦幅值、近似库伦摩擦形状函数、系统外干扰及未建模动态; βe为油液弹性模量;Ct为液压缸内泄系数;Q1、Q2分别为无杆腔和有杆腔的流量;P1、P2分别为无杆腔和有杆腔的压力;τv为伺服阀时间常数;kv为阀芯电流增益;u为输入电压。
(2)
式(2)中:Q1、Q2分别为进出液压缸无杆腔和有杆腔的流量;Ps为系统的供油压力;Pr为系统的回油压力;xv为比例阀的阀芯位移;kq为比例阀流量增益,定义函数s(·)为
(3)
为方便表示,可令:
(4)
将式(1)转化为矩阵状态方程为
(5)
式(5)中:A为系统矩阵;B为控制矩阵;C为输出矩阵;d为系统库仑摩擦及外干扰项。
1.3 参数辨识
为精准观测到系统的状态,需要使模型与实际系统尽可能相同,即保证相同输入下模型输出和系统输入的一致性。因此,在状态观测器及控制器的设计过程中,需对实际系统参数进行设定及修正,通常采用正常状态下实际系统的状态参数为标准。而在系统模型中,往往存在一些不确定参数,如kv、Ct、 βe等。针对模型参数的辨识,目前主要有分布辨识法[11]、多目标遗传法[12]、最小二乘法[13]。分布辨识法利用已辨识的参数值作为剩余参数的先验值,存在累积误差;多目标遗传法参数辨识对先验经验的依懒性比较大;传统的最小二乘法对先验信息及约束条件要求较高,且计算量比较大。本文中采用递推最小二乘法对起竖液压系统的部分未知参数进行辨识。
基于系统所测历史数据,由式(5)可得:
γ=φφ
(6)
式(6)中:
为回归向量;
为待识别参数;
可通过测量获得。
基于递推最小二乘法(recursive least squares,RLS)的模型参数估计原理[14]可以表述为:在所研究的历史数据窗口内,使实际值与估计值的平方差最小,其代价函数Jp可表示为
(7)
式(7)中: λm为衰减因子, η为历史数据时间窗口的长度。相较于传统最小二乘法,RLS可以通过递推算法来实现,且可以同时估计线性和非线性参数。
代价函数Jp若要取最小值,应满足Jp对待识别参数φ(j)的偏导为0,具体过程为
(8)
(9)
K(j)=P(j-1)φ(j)[λm+φ(j)P(j-1)φ(j)]-1
(10)
式(8)—式(10)即为递推最小二乘法的递推过程,可按照经验设定初值
2 起竖液压系统控制器设计
起竖液压系统运动控制采用如图3所示的控制策略。主要有2个部分组成:电液伺服系统线性扩张状态观测器(LESO)、线性时变模型预测控制器(LTV-MPC)。LESO是前提,对系统当前状态进行准确的估计,为控制器作准备;LTV-MPC是核心,依据当前系统的状态及其预测模型,对系统状态进行预测,计算出最优控制信号。
图3 基于LESO的LTV-MPC控制原理
Fig.3 Control principle of LVT-MPC method based on LESO
2.1 扩张状态观测器设计
扩张状态观测器(extended state observer)能够在不依赖于扰动模型的前提下对受控对象的各阶状态作出有效估计,输出的观测值能够参与系统补偿环节的反馈线性化,从而实现对系统的精确控制。引入线性误差函数的扩张状态观测器(LESO)有着更高效的参数整定规律[15],图3右半部分即为线性扩张状态观测器结构图。
定义
取 e1=z1-y1,在ESO中需要通过引入动态补偿项对系统所受干扰进行抑制,常用的误差函数fal(e,α,δ)为函数
sign(e)改造而来的在原点附近具有线性段的连续幂次函数,表达式为
(11)
式(11)中: 0<α<1,δ>0,当误差函数fal(e,α,δ)函数取为 fal(e,1,δ)=e时,按照韩京清教授扩提出的扩张状态观测器的设计思想[16],当可建立LESO如下:
(12)
采用带宽概念确定LESO的参数β0i[17],如上LESO的特征方程形式为
(13)
于是把对参数β0i的配置转为仅对带宽ω0的调节,至于ω0的选取则根据系统带宽的要求确定或在线整定。由式(12)可知,基于带宽概念来配置参数β0i的LESO本质上是ESO的设计思想与高增益状态观测器的结合[16]。由Zhao的研究可知该类扩张状态观测器严格收敛[18]。故系统(11)中的状态估计渐进收敛于系统实际值,即:
(14)
2.2 LTV-MPC设计
线性时变预测模型控制器(LTV-MPC)控制原理如图3左半部分所示。根据当前系统状态和控制输入来预测未来的输出,并通过调整控制输入以实现期望输出。模型预测控制的3个基本原理:预测模型,滚动优化和反馈校正。相较于其他控制器,LTV-MPC具有适应性强、预测能力强、系统可解释性好以及易于实现和优化等优点,因此这种控制器通常被用于工业自动化、机器人控制、航空航天等领域[14]。
2.2.1 模型线性化
由于起竖液压系统是动力非线性的,需要先进行线性化处理后才能够用于线性时变预测模型中。
对起竖液压系统的状态函数进行线性化处理,可得:
x(k+1)=A(k)·x(k)+B(k)·u(k)+dL(k)
(15)
式(15)中: A(k)=I+TA(t), B(k)=TB(t), T为采样时间,
为线性化过程中产生的误差,
由非线性模型根据当前状态和输入一步预测得到。
2.2.2 预测过程
由式(15)所得系统离散线性化模型,设定:
(16)
可得到一个新的状态空间表达式:
(17)
式中,各矩阵的定义如下:
进一步简化为
若系统预测时域为Np,控制时域为为Nc,则预测时域内状态量和系统输出量由计算可得:
(18)
(19)
经简化,系统未来时刻的输出以矩阵形式表达如下:
Y(k+Np)=Ψkξ(k)+ΘkΔU(k)+ΓkΦk
(20)
式中,
在预测时域内的状态量和输出量都可以通过系统当前的状态量ξ(k)和控制时域内的控制增量ΔU(k)计算得到,从而实现算法的预测功能。系统中,实际控制增量往往是未知的,故需要通过设计合适的优化目标,并对其进行求解从而获得控制时域内的控制序列。
为了跟踪所期望的轨迹,设计如下目标函数来反映被控系统的跟踪性能:
(21)
式(21)中: yref(k+i), i=1,…,Np为期望输出量; QNy、RNu、SNu、 ρ为权重矩阵; ε为松弛因子。其中,第一项用于惩罚系统在预测时域Np内,预测输出量与期望输出量之间的偏差,反映系统对期望轨迹的快速跟踪能力;第二项用于惩罚系统在控制时域Nc内的控制增量大小,反映系统对控制量平稳变化的要求;第三项用于惩罚系统在控制时域Nc内的控制量大小,反映系统对控制量极值的要求。第四项用于保证在时变系统每个时刻该优化目标都能得到可行解。
在该控制系统中,应满足如下的约束条件:
动力学约束:
(22)
控制变量约束:
(23)
控制增量约束:
(24)
输出约束:
(25)
将式(20)代入式(21),并将预测时域内输出偏差表示为
E(k)=Ψkξ(k)+ΓkΦk-Yref(k)
(26)
在模型预测控制过程中,通常将问题转化为QP优化问题来进行求解,故需要将相应矩阵调整为QP形式。
(27)
式(27)中:
将该问题转化为如下QP问题进行求解:
(28)
若已知k时刻系统状态x(k)和前一时刻控制量u(k-1),通过求解式(27),可得到在控制时域Nc内的最优控制增量序列ΔU*(k),将该序列的第一个量作为实际的控制增量作用于系统,故有:
(29)
通过上面的优化过程,每一个新的时刻系统都会根据实时状态预测新的输出,并计算出新的最佳控制增量,实现对系统的最优滚动控制。
3 仿真与试验分析
3.1 仿真分析
为验证本文中所提方法,采用Matlab/Simulink进行仿真,仿真模型如图4所示。在该模型参数设置中,考虑到了起竖液压系统的内泄漏、摩擦力等会对系统性能产生影响。在Matlab/Simulink模型中,通过输入位移指令信号、控制器算法编写及仿真数据采集,并根据不同工况在模型中施加外部干扰力。
图4 起竖液压控制仿真
Fig.4 Hydraulic erection control simulation
仿真1:
为验证LESO的观测效果,通过仿真的方式,对不同干扰下的起竖液压系统分别进行观测。对比不同干扰下的效果,如图5所示。
图5 不同干扰下观测器观测效果
Fig.5 Observation effect of the observer under different disturbances
由图5仿真试验结果可知,不同干扰下,尽管系统速度信号会产生一定波动,但观测器观测到的位移和速度信号,与系统实际的位移和速度信号,能够保持良好的一致性,即本文中设计的观测器能够准确观测出系统的状态。
仿真2:
为验证基于LESO-LTV-MPC控制效果,通过仿真的方式,采用不同控制策略对起竖液压系统分别进行控制。与目前常见的控制策略进行对比,如图6所示。位移控制误差数值对比如表1所示。
表1 不同策略位移误差
Table 1 Displacement errors for different strategies
控制策略误差值/mm误差率/%Backstepping13.480.539BSMC9.610.384ARC5.720.229LESO-LTV-MPC0.340.014
图6 不同控制策略控制效果
Fig.6 Control effect of different control strategies
由图6及表1仿真试验结果可知,Backstepping作为一种非线性控制策略,对非线性系统具有较好的控制性能,但其需要准确的系统模型信息,对建模的准确性要求较高,在起竖液压系统的控制中存在较强的抖振现象;相较于反步控制,BSMC能够减小抖振幅度,但由于受模型误差影响,仍会造成位移控制曲线产生一定的抖动;ARC具有良好的鲁棒性,能够有效地抑制参数不确定性对系统性能的影响,但是存在一定的适应过程,且在负荷变化的场合中容易产生抖动现象,因此仍会有一定的位移控制误差;本文中提出的LESO-LTV-MPC可以克服参数不确定性及系统复杂非线性,稳态误差小,抖动现象不明显。
仿真3:
为检测所提控制方法的鲁棒性,设置不同外干扰力,验证在外干扰条件下控制效果。起竖液压系统在不同干扰下的控制效果如图7所示。
图7 不同干扰下控制效果
Fig.7 Control effect of different disturbances
由图7可以看出,当存在干扰力时,系统的输出位移与输出速度均存在较小幅度的波动,且随着干扰力的增大,波动幅度也逐渐增大,但仍可以保持良好的控制性能。即存在不同干扰力的情况下,基于LESO-LTV-MPC的控制方法仍能保持对系统良好的控制效果。
3.2 试验分析
在Matlab/Simulink环境搭建的仿真系统中验证了所提控制策略的有效性,试验系统如图8所示。试验台为图中所示起竖液压设备,对其进行控制。主要模块包括:控制模块、执行模块、数据采集模块、显示模块。控制模块使用基于Labview的采集卡的平台进行控制,通过Labview的SIT驱动实现Labview与Matlab/Simulink连接。执行模块主要有Honor公司的双向齿轮泵、Rexroth公司的比例方向阀、恒力公司生产的单级缸。数据采集模块使用美国国家仪器公司的多功能高速数据采集卡,结合DANFOSS压力传感器、MIRAN-TECH位移传感器等,对系统的压力、位移信号进行监测。
图8 起竖液压控制系统试验台
Fig.8 Hydraulic erection control system test bed
采集系统在正常状态及不同干扰力下的信号,并对比不同干扰力下位移控制效果和速度控制效果,结果如图9所示。位移控制误差数值对比如表2所示。
表2 不同干扰下试验位移误差
Table 2 Displacement errors for experiments with different disturbances
干扰力/N误差值/mm误差率/%00.470.0192×1052.930.1176×1054.350.17410×1055.580.223
图9 不同干扰下试验结果
Fig.9 Experimental results under different disturbances
由图7可以看出,进入稳定状态后,没有外干扰时,位移误差比例为0.019%,系统的位移与速度控制效果非常好。当干扰力为2×105 N时,位移误差比例为0.117%;当干扰力为6×105 N时,位移误差比例为0.174%;位移误差比例为0.117%;当干扰力为10×105N时,位移误差比例为0.223%。结果表明,在施加外干扰力后,位移存在小幅度的误差,且速度存在小幅度抖动,但整体控制精度仍然非常高,能够很好地满足系统工作需求,即所提控制策略具有良好的鲁棒性。
4 结论
1) 通过递推最小二乘法,能够准确地识别出系统中的不确定参数,从而建立更准确的系统模型。
2) 采用LESO对系统状态进行估计,通过引入动态补偿项方式抑制其干扰作用,能够准确地估计出系统当前的状态量,为控制器的预测控制获取足够的信息。
3) 无干扰时,相较于Backstepping、BSMC、ARC等方法, LESO-LTV-MPC控制误差为0.014%,能够明显提高系统的位移控制精度。
4) 通过试验验证,当系统在受到较大外部干扰力时,位移误差比例为0.223%,基于LESO-LTV-MPC方法仍能保持良好的位移控制精度,能有效抑制外部扰动,具有较强的鲁棒性。
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