0 引言
动态性能和稳态性能是评价控制系统性能的两类重要指标,学者们基于性能指标对非线性系统展开研究,提出了比例-积分-微分控制、自适应控制等方法。这些控制方法保证闭环系统渐近稳定,其收敛时间无穷大。然而,在实际应用中常常要求系统快速收敛,因此有限时间稳定性成为研究热点并取得了显著成果[1-3]。有限时间控制方法保证系统在有限时间内收敛,具有收敛速度快、跟踪精度高等优点。但是,其收敛时间高度依赖系统初始状态,若初始状态远离系统平衡点,则无法获得理想收敛时间。为摆脱收敛时间对初始状态的依赖,Polyakov提出了固定时间控制方法[4],使得系统从任意初始状态收敛到平衡点所用时间存在确定上界。因此,固定时间控制在非线性严格反馈系统[5]、无人机系统[6]、机器人系统[7]等系统中得到了广泛应用。
然而,上述控制方法不能预先设定期望性能边界,且未考虑控制过程中超调量变化情况。因此,针对多输入多输出非线性系统,Bechlioulis等人引入预设性能函数(prescribed performance function,PPF)和误差变换函数,提出预设性能控制(prescribed performance control,PPC)方法[8],保证系统同时满足预设稳态和瞬态性能要求,但该方法需要依据初始误差的符号分情况讨论,且对初始误差的依赖性较大。由于实际控制系统中难以提前获取初始误差,文献[9]提出一种自适应神经跟踪控制方案保证预设跟踪控制性能,同时消除了对初始误差的要求。文献[10]针对吸气式高超声速飞行器纵向动力学模型提出一种新颖的PPF,使得在控制设计时不需要提前获取初始跟踪误差。实际控制系统需要明确定量的收敛时间,但文献[8-10]中PPF包含多种设计参数,无法用定量方法清楚表示参数之间的关系。针对上述不足,考虑欠驱动水下机器人轨迹跟踪问题,文献[11]提出一种新型有限时间PPF。此外,文献[12]研究具有任意切换信号和有限时间预设性能的随机系统模糊自适应切换控制问题,通过模糊逻辑系统(fuzzy logic systems,FLS)近似未知函数,利用分段函数设计不依赖系统初始误差的有限时间PPF,提出控制律保证跟踪误差满足预设性能要求。然而上述文献,系统被控过程可能会出现超调量过大的情况。因此,研究人员提出了新颖的有限时间小超调PPF[13-14]。文献[13]研究有限时间预设性能控制器及其在乘波体飞机上的应用,所设计的有限时间小超调PPF能够实现跟踪误差有限时间收敛且超调量小,有效解决传统PPC收敛时间无法定量设计的缺陷和有限时间PPC的大超调问题。文献[14]定义新的PPF,确保跟踪误差具有较小的超调,并在用户设计时间内收敛至预设区域。
实际控制系统必然存在执行器饱和约束,可能会影响系统稳定性。在PPC中,通过PPF对跟踪误差预先设定性能边界,期望得到理想跟踪效果,但当系统出现饱和时,跟踪误差会不可避免的增大,可能会穿过性能边界,导致系统奇异,从而破坏系统稳定性。因此,越来越多的研究人员开始关注存在输入饱和的PPC问题[15-18]。针对飞行器编队飞行问题,文献[15]考虑PPC和输入饱和,提出一种固定时间收敛的PPF约束跟踪误差,设计抗饱和补偿器消除饱和的影响。文献[16]通过FLS逼近未知非线性函数,利用非仿射光滑函数逼近非光滑输入死区和饱和非线性,为严格反馈非线性系统有限时间预设性能跟踪控制问题设计自适应模糊输出反馈控制器,保证跟踪误差在有限时间到达预设边界内。文献[17]考虑不对称输入饱和、预设跟踪性能和外部干扰同时存在的多输入多输出非线性系统跟踪控制问题,通过一个辅助系统在输入约束和性能约束之间建立联系,使得执行器饱和发生时性能边界能够自主扩大,保证跟踪误差不违反性能约束。文献[18]为一类多输入多输出非线性系统设计一种容忍饱和预设控制,即使存在饱和和执行器故障,也能保证跟踪误差不违反性能约束。
上述研究成果中辅助系统和被控系统均是渐进稳定,当执行器发生饱和时,原性能边界扩大,但当饱和消失后,辅助系统非负状态不能在有限时间内收敛到零,因此,性能边界不能在有限时间内消除执行器饱和对其的影响,进而影响系统性能。目前,未有研究成果考虑如何在有限/固定时间内实现辅助系统稳定。因此在本文中,针对存在执行器饱和的非线性严格反馈跟踪控制系统,探索固定时间辅助系统,结合PPC和固定时间控制,提出一种可自主调节预设性能固定时间控制方案,保证系统即使在执行器饱和发生时也不违反性能约束,闭环系统所有信号固定时间内一致最终有界。主要贡献如下:
1) 提出一种新型固定时间收敛形式的辅助系统,调和系统输入约束和性能约束之间的矛盾关系,将其纳入到固定时间控制框架中,使得系统最终在固定时间内收敛。
2) 利用FLS近似非线性系统中未知函数,采用最小参数学习方法更新模糊参数,减少参数在线学习个数,降低控制器复杂度。
3) 设计一种不含分数次幂项的固定时间控制器,避免分数次幂项多次求导引起奇异问题,结合动态面滤波器,避免出现复杂性爆炸现象。
1 系统描述与预备知识
1.1 系统描述
考虑一类非线性严格反馈系统如下:
(1)
式(1)中:
和
分别表示i×1维和n×1维系统状态向量;y是系统输出; fi(·)和gi(·)分别是未知光滑函数和已知光滑函数;u是存在饱和的控制输入,其表达式如下:
(2)
式(2)中:
和
分别是u的上边界和下边界;v是实际控制输入。
控制目标:针对系统(1),考虑执行器饱和(2)和预设性能,设计一种自主调节PPC方案使得
1) 即使在控制器发生饱和的情况下,系统输出跟踪误差e1=y-yr始终满足-El(t)<e1(t)<Eu(t),其中yr是参考轨迹,El(t),Eu(t)由下文的自主调节PPF定义;
2) 闭环系统所有信号在固定时间内有界。
1.2 预备知识
下面介绍设计过程中所用定义、引理和假设。
引理1[19]:如果对系统(1)存在一个连续可微、径向无界、正定的函数V(x),满足:
(3)
其中,a1、a2是正常数,a3≥0,0<α<1, β>1。则系统(1)在平衡点实际固定时间稳定,其收敛时间
引理2：对于具有以下形式的系统:
(4)
其中,常数k1,k2,ζ>0。当t≥0时,有Δ(t)≥0。若该系统对于任意x(0)存在唯一解,则当t≥0,x(0)≥0时,可以得到x(t)≥0成立。
注1:结合引理1,可以得到系统(4)实际固定时间稳定,收敛时间T满足
其中
而x(t)有界,最终收敛到紧集
内。
假设1：存在正常数
和
使得
成立。在此假设gi(·)>0。
假设2：存在一个可以使闭环系统稳定的控制输入u。
假设3：参考轨迹yr已知光滑有界且二阶可导。
注2：从假设1可知,控制增益都是有界的,这在现有的研究中被广泛使用。同时,假设2是合理的,因为在实际控制系统中,无论执行器是否饱和,都存在可行的控制输入对被控对象进行作用。
定义1[20]:若一个光滑函数ρ(t)具有以下性质:① ρ(t)>0;②
③
④ρ(t)=ρtf,∀t>tf,则称其为有限时间PPF。若跟踪误差的性能边界el(t)、eu(t)满足
则称其为有限时间小超调PPF。
设计有限时间小超调PPF如下:
-el(t)<e1(t)<eu(t)
(5)
其中,el(t) =[δl-sign (e1(0))]ρ(t)+ρtfsign (e1(0)), eu(t) =[δu+sign (e1(0))]ρ(t)-ρtfsign (e1(0)),常数δl、δu满足0<δl、δu≤1。ρ(t)为
(6)
其中,0<ρtf<ρ0,0<tf<∞, φ(t)=-ltft/(tf-t), l>0。预设时间tf表示ρ(t)从ρ0到ρtf的时间。
由于有限时间小超调PPF的性能边界(5)是固定不变的,若系统跟踪误差由于执行器发生饱和而增大直到越过性能边界,则系统出现奇异性问题,系统稳定性被破坏,即系统输入约束和性能约束存在矛盾关系,系统无法同时满足。为解决此问题,设计固定时间形式的辅助系统来调和输入约束和性能约束之间的矛盾,引入辅助系统非负状态到性能边界(5)中,得到可自主调节预设性能边界如下:
-El(t)<e1(t)<Eu(t)
(7)
其中,El(t)=el(t)+η1,l,Eu(t)=eu(t)+η1,u, η1,l, η1,u由稍后设计的辅助系统(15)产生。
利用误差变换函数将有约束系统转换为等效无约束系统:
(8)
若z1有界,则可以得到性能约束(7)成立。
注3:η1,l、 η1,u是辅助系统(15)中与饱和误差相关的非负状态,且η1,l(0)=η1,u(0)=0。当执行器发生饱和时,辅助系统产生正值的η1,l、 η1,u,则性能边界(5)将会扩大到性能边界(7)的程度,避免跟踪误差穿过性能边界;当执行器饱和消失时,η1,l,η1,u收敛到零,性能边界(7)将回到原先的性能边界(5)。
引理3[21]:对于给定的紧集Ω0,存在FLS以任意精度逼近在Ω0上定义的未知连续函数f(x),使得:
sup|f(x)-θTφ(x)|≤ε
(9)
其中,
权重向量θ=[θ1,…,θN]T,基函数向量φ(x)=[φ1(x),…,φN(x)]T,N为规则编号。定义模糊基函数如下:
(10)
其中,模糊集
的隶属度函数为
则f(x)等价为
f(x)=θTφ(x)+ε
(11)
引理4[22]:对任意正常数δ和任意变量x,有:
(12)
引理5[7]:对x,y∈R,有:
(13)
其中,d1、d2、d3是正常数。
引理6[23]:对xi(1≤i≤n)和实数γ,有:
(14)
2 设计方法
本节将详细描述固定时间辅助系统和控制器的设计过程。
2.1 辅助系统设计
为实现输入约束和性能约束之间的平衡,设计新型固定时间形式的辅助系统如下:
(15)
其中,Λ=∂z1/∂e1>0, Λl=∂z1/∂El>0, Λu=∂z1/∂Eu<0, ηi,l、ηi,u(1≤i≤n+1)是辅助系统状态变量,ki1、ki2、 ζi,l、 ζi,u是正常数。辅助系统状态变量ηn+1,l、 ηn+1,u用于感知饱和误差,其表达式分别为ηn+1,l =[1.5+0.5sign (v-u)]|v-u|, ηn+1,u =[1.5-0.5sign (v-u)]|v-u|,且有ηn+1,l-ηn+1,u=v-u。此外,根据引理2,可以得到以下定理:
定理1：考虑系统(1)、自主调节预设性能(7)和辅助系统(15),如果饱和误差满足0<|u-v|≤umax,则所有辅助系统状态ηi,l、 ηi,u(1≤i≤n)有界且非负。
证明：由于0<|u-v|≤umax,则0≤ηn+1,l≤2umax,ηn+1,l有界且非负。利用引理2,当
时,
有
则ηn,l有界且非负。同理可得,ηn,u有界且非负。类似地,ηi,l,ηi,u(2≤i≤n)有界且非负。
由于Λ>0,Λl>0,Λu<0,当
时,因为η2,l,η2,u有界且非负,可以得到η1,l,η1,u有界且非负。
综上所述,所有辅助系统状态都有界且非负。
注4：结合引理1和引理2,可以得出辅助系统(15)具有固定时间收敛形式。因此,与文献[20]设计的辅助系统相比,本文中所设计的辅助系统能够在固定时间内收敛,而文献[20]中辅助系统最终渐进收敛。即当饱和发生时,文献[20]的辅助系统和本文中设计的辅助系统都能生成非负状态,基于此非负状态,原性能边界将会扩大,但当饱和消失后,本文中设计的辅助系统状态可以在固定时间内收敛到零,快速消除饱和对性能边界的影响,而文献[20]的辅助系统由于其渐进收敛特性,无法在有限时间内消除饱和对性能边界的影响,进而可能会影响系统性能。
2.2 控制器设计
下面进行虚拟控制器和实际控制器的设计。将使用到误差变换函数(8)和以下的坐标变换:
zi=xi+ηi,l-ηi,u-αfi, 2≤i≤n
(16)
为避免后续设计过程中虚拟控制律重复求导引起复杂性爆炸现象,采用以下动态面滤波器:
(17)
其中,cfi1、cfi2、cfi3、 ξfi为正常数,ωi为滤波误差,其表达式如下:
ωi=αfi-αi-1
(18)
其中,αi-1和αfi分别表示滤波器输入和输出。
令
表示稍后设计过程中
的范数最大值,其估计值为
估计误差
步骤1：由式(8)可得,z1的导数为
(19)
其中,
选择Lyapunov候选函数V1为
(20)
其中,r>0。代入式(19)可得V1的导数为
(21)
其中,F1=Λf1。由引理3可知,存在FLS使得:
(22)
其中,
设计虚拟控制律为
(23)
其中,c11,c12,c13,b1,ξ1>0。
将式(22)、式(23)代入到式(21)中得到:
(24)
根据引理4,可得:
(25)
其中,
步骤2：根据式(16),z2的导数为
(26)
其中,
令Lyapunov候选函数V2为
(27)
与步骤1类似,设计虚拟控制律为
(28)
其中,c21,c22,c23,b2,ξ2>0。
则
为
(29)
其中,
步骤i(3≤i≤n-1):与步骤1和步骤2类似,设计虚拟控制律:
(30)
其中,ci1,ci2,ci3,bi,ξi>0。得到Lyapunov候选函数
的导数为
(31)
其中,
步骤n：:根据zn的定义,其导数为
(32)
其中,
取Lyapunov函数Vn为
(33)
最终设计的实际控制律和模糊参数更新律分别为
(34)
(35)
其中,cn1,cn2,cn3,bn,ξn,λ1,λ2>0。使得Vn的导数
为
(36)
其中,
3 稳定性分析
本节给出本文中所提定理及其证明过程。
定理2：考虑非线性严格反馈系统(1),执行器饱和(2),自主调节预设性能约束(7),固定时间形式的辅助系统(15),虚拟控制律(23)、(28)、(30),实际控制律(34)和自适应律(35)。若
则存在合适的设计参数,使得跟踪误差e1可以在固定时间内收敛到预设区域,即使在执行器发生饱和的情况下,系统也不违反性能约束,闭环系统所有信号在固定时间内收敛。
证明：令
则
为
(37)
由于
有界,因此存在正常数
使得
则根据引理5,取d1=d2=1,d3=cfi3,得到:
(38)
此外,对
使用引理5,分别取d1=d2=1,d3=6和
得到:
(39)
则:
(40)
类似地,有:
(41)
将式(38)、式(40)和式(41)代入到式(37)中得到:
(42)
利用引理5,取参数
有:
(43)
则根据引理
为
(44)
其中μ2=min{4ci2,4cfi2,(4λ2-9λ2σ4/3)r}/(2n),
当
时,有:
(45)
则由引理1可知,系统在实际固定时间内稳定,滤波误差ωi收敛到紧集
内,zi收敛到紧集
内,所有闭环系统信号有界,稳定时间T≤2/μ1+1/μ2。z1的有界性则意味着即使在执行器存在饱和的情况下,跟踪误差e1也满足性能约束。
注5：由误差变换函数(8)可知,当e1=Eu或e1=-El时,有z1=+∞或z1=-∞,即,当跟踪误差e1与性能边界相交时,z1将无界,则z1的有界性意味着跟踪误差e1始终满足性能约束(7)。
注6：选择各设计参数时,要考虑其对系统的影响。例如,参数ci1、ci2、cfi1、cfi2越大,则稳定时间T越小;参数cf(i+1)3越大,则紧集Ωω、Ωz越小;而参数λ1、λ2,r不仅影响稳定时间T的大小,也影响紧集Ωω、Ωz的大小。因此,各个参数要选取恰当,使系统获得良好的性能。
4 仿真验证
为验证所提方法的有效性,考虑二阶非线性严格反馈系统:
(46)
其中,
设置系统初始状态为
参考轨迹yr=sin(t+0.5)。辅助系统中的参数分别为k11=0.9, k12=0.5,k21=2, k22=0.8, ζ1,l=ζ1,u=0.7,ζ2,l=ζ2,u=2。执行器的上下界为
性能函数中的参数有δl=0.2, δu=0.6, ρ0=2, ρtf=0.3,l=0.5,l=0.5。控制器参数设计如下:c11=c12=0.8, c13=7,ξ1=ξ2=0.1,b1=b2=0.5,cf21=0.8,cf22=0.5,cf23=4,ξf2=0.1,c21=0.4,c22=0.1,c23=0.2,r=1,λ1=λ2=0.5。
仿真图如图1—图5所示。
图1 跟踪误差及其性能边界
Fig.1 Tracking error and its performance bounds
从图1中可以看出,尽管执行器发生了饱和,但跟踪误差始终没有违反性能约束,且性能边界的初值在同一侧,保证了系统对小超调的要求。图2和图3分别是控制输入u和实际控制律v,执行器由于饱和约束被限制在[-5,5]区域内。结合图1、图2和图4可知,当执行器发生饱和时,辅助系统状态由零值变为正值,性能边界扩大,保证性能约束不会被违反,当饱和消失时,辅助系统状态η1,l和η1,u分别在4 s和5 s内收敛到零,性能边界恢复原来水平。图5展示了系统输出和参考轨迹之间的关系。
图2 控制输入
Fig.2 Control input
图3 实际控制律
Fig.3 Actual control law
图4 辅助系统状态
Fig.4 Auxiliary system state
图5 系统输出及其参考轨迹
Fig.5 System output and its reference trajectory
5 结论
1) 设计与饱和误差相关的固定时间辅助系统,当饱和误差不为零时,通过此辅助系统非负信号构建新型可自主调节PPF,使得跟踪误差性能约束边界扩大,可以保证系统不违反性能约束。
2) 利用最小参数学习方法更新模糊参数,降低控制器设计复杂度。
3) 设计不含分数次幂项的固定时间控制器和滤波器,避免系统出现奇异性和复杂性爆炸问题。
4) 由仿真结果可知,在0～1.1 s内,系统输出饱和,辅助系统状态由零值变为正值,使得性能边界扩大,跟踪误差不违反性能约束,饱和消失后,辅助系统状态在固定时间内由正值变为零值,且闭环系统所有信号固定时间内一致有界。
[1] 朱新峰,丁文武,张天平.具有输入量化和全状态约束的非严格反馈随机非线性系统的有限时间动态面控制[J].控制与决策,2022,37(10):2575-2584.ZHU Xinfeng,DING Wenwu,ZHANG Tianping.Finite-time dynamic surface control for nonstrict-feedback stochastic nonlinear systems with input quantization and full-state constraints[J].Control and Decision,2022,37(10):2575-2584.
[2] WANG H Q,XU K,ZHANG H G.Adaptive finite-time tracking control of nonlinear systems with dynamics uncertainties[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2023,68(9):5737-5744.
[3] 李新凯,张宏立,范文慧.基于时变障碍李雅普诺夫函数的变体无人机有限时间控制[J].自动化学报,2022,48(8):2062-2074.LI Xinkai,ZHANG Hongli,FAN Wenhui.Finite-time control for morphing aerospace vehicle based on time-varying barrier lyapunov function[J].Acta Automatica Sinica,2022,48(8):2062-2074.
[4] POLYAKOV A.Nonlinear feedback design for fixed-time stabilization of linear control systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(8):2106-U1.
[5] NI J K,WU Z H,LIU L,et al.Fixed-time adaptive neural network control for nonstrict-feedback nonlinear systems with deadzone and output constraint[J].ISA Transactions,2020,97:458-473.
[6] YU L,HE G,WANG X K,et al.Robust fixed-time sliding mode attitude control of tilt trirotor UAV in helicopter mode[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2022,69(10):10322-10332.
[7] ZHU C Z,JIANG Y M,YANG C G.Fixed-time neural control of robot manipulator with global stability and guaranteed transient performance[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2023,70(1):803-812.
[8] BECHLIOULIS C P,ROVITHAKIS G A.Robust adaptive control of feedback linearizable MIMO nonlinear systems with prescribed performance[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(9):2090-2099.
[9] SI W J,DONG X D,YANG F F.Adaptive neural prescribed performance control for a class of strict-feedback stochastic nonlinear systems under arbitrary switchings[J].International Journal of Systems Science,2017,48(11):2300-2310.
[10] BU X W,XIAO Y,WANG K.A prescribed performance control approach guaranteeing small overshoot for air-breathing hypersonic vehicles via neural approximation[J].Aerospace Science and Technology,2017,71:485-498.
[11] 杜佳璐,李健.欠驱动水下机器人三维轨迹跟踪有限时间预设性能控制[J].控制理论与应用,2022,39(2):383-392.DU Jialu,LI Jian.Finite-time prescribed performance control for the three-dimension trajectory tracking of underactuated autonomous underwater vehicles[J].Control Theory and Applications,2022,39(2):383-392.
[12] SUN K K,GUO R S,QIU J B.Fuzzy adaptive switching control for stochastic systems with finite-time prescribed performance[J].IEEE Transactions on Cybernetics,2022,52(9):9922-9930.
[13] BU X W,QI Q,JIANG B X.A simplified finite-time fuzzy neural controller with prescribed performance applied to waverider aircraft[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2022,30(7):2529-2537.
[14] WANG X D,LI Z,HE Z,et al.Prescribed performance adaptive tracking control with small overshoot for a class of uncertain second-order nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Express Briefs,2022,69(9):3834-3838.
[15] ZHUANG M L,TAN L G,LI K H,et al.Fixed-time formation control for spacecraft with prescribed performance guarantee under input saturation[J].Aerospace Science and Technology,2021,119:107176.
[16] ZHOU X,GAO C,LI Z G,et al.Observer-based adaptive fuzzy finite-time prescribed performance tracking control for strict-feedback systems with input dead-zone and saturation[J].Nonlinear Dynamics,2021,103(2):1645-1661.
[17] YONG K N,CHEN M,SHI Y,et al.Flexible performance-based robust control for a class of nonlinear systems with input saturation[J].Automatica,2020,122.
[18] JI R H,YANG B Q,MA J,et al.Saturation-tolerant prescribed control for a class of MIMO nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics,2022,52(12):13012-13026.
[19] JIN X.Adaptive fixed-time control for MIMO nonlinear systems with asymmetric output constraints using universal barrier functions[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2019,64(7):3046-3053.
[20] JI R H,LI D Y,GE S S.Saturation-tolerant prescribed control for nonlinear time-delay systems[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2023,31(8):2495-2508.
[21] SUN K K,SUI S,TONG S C.Optimal adaptive fuzzy FTC design for strict-feedback nonlinear uncertain systems with actuator faults[J].Fuzzy Sets and Systems,2017,316:20-34.
[22] WU Z H,GUO J F,LIU B J,et al.Composite learning adaptive dynamic surface control for uncertain nonlinear strict-feedback systems with fixed-time parameter estimation under sufficient excitation[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2021,31(12):5865-5889.
[23] NI J K,LIU L,LIU C X,et al.Fixed-time dynamic surface high-order sliding mode control for chaotic oscillation in power system[J].Nonlinear Dynamics,2016,86(1):401-420.