1 引言
冲压发动机导弹具有推阻比大、速度快和射程远等突出优势[1-2]。其射击方式一般为纯方位攻击或现在点攻击，在该射击方式下，输入发射扇面角和目标距离即可完成装订。因此针对一定的发射扇面范围，进行动力航程远边界的解算，能为作战指挥决策提供直接的依据，综合体现了发动机性能、弹道等多种因素对导弹作战使用的影响。显然，靶场试射数据有限，动力航程远边界的求解只能依据发动机性能数据和弹道模型等进行仿真计算[3]。
冲压发动机导弹，特别是整体式液体冲压发动机导弹，其动力航程可达数百公里，因此本文更关注不同的发射扇面角对其动力航程远边界的影响，忽略末制导段的影响。其远边界可简单理解为导弹飞行时达到一定的终止条件后可实现的射程。
高劲松等[4]研究了以目标为中心和以本机为中心的全向攻击2种方式下的攻击区解算，张安等[6]研究了空空导弹发射包线的灵敏度问题，分析了导弹发射条件的改变对导弹发射包线的影响。杜昌平等[7]提出了一种空空导弹可攻击区快速算法，利用可攻击区多项式拟合结果作为积分计算的初始值，提升了解算速度。注意到，对空空导弹攻击区的研究较多，而对反舰导弹的研究较少，对固体火箭发动机为动力的导弹研究较多，而对冲压发动机为动力的导弹研究较少。
因此，本文在考虑冲压发动机导弹的一体化性能计算和六自由度弹道方程[8]基础上，设计了PID控制策略，在高低混合弹道模式下，建立了冲压发动机导弹的动力航程远边界计算模型，基于黄金分割法给出了远边界的计算方法和流程。最后利用切比雪夫多项式对远边界包络线进行了拟合获取边界函数，用以满足工程应用实时解算的要求。为导弹实际作战使用时指挥决策提供了重要的依据。
2 边界计算模型的建立
2.1 导弹动力模型
导弹动力装置为固体火箭助推器和冲压发动机。
导弹从舰上或发射车发射后，在助推器作用下到达一定高度，速度达到接力马赫数，助推器脱落后冲压发动机开始工作，为增大航程通常采用高低混合弹道飞行，为增强突防能力通常采用超低空掠海飞行，直至命中目标。
助推过程时间较短，且该过程采用姿态稳定控制，维持扇面发射角不变。因此动力学模型针对冲压发动机工作过程。该过程中，由于冲压发动机作为吸气式发动机，且进气道成为弹体一部分，因此发动机、导弹气动和弹道之间存在强烈的耦合，有必要建立一体化动力模型。
导弹在惯性坐标系的运动模型为：
(1)
导弹质心运动的动力学模型为：
(2)
导弹绕质心转动的动力学方程为：
(3)
导弹绕质心转动的运动学方程为：
(4)
导弹质量变化方程为：
(5)
运动学和动力学方程中变量的定义同文献[9]。
利用导弹气动估算软件[10]对该型导弹建模，获取了其弹身、翼和舵的气动特性，气动参数可插值马赫数和飞行高度求得。显然，气动力是高度、马赫数和攻角的函数。根据文献[11]，升力和阻力可表示为：
Y=qS(αCL0+2αCLwing)+2qCLfin
(6)
X=qS(CD0+CD2α2+CDfinα2+CDwingα2)
(7)
式中: CL0、CLwing、CLfin分别表示弹身、翼和舵的升力系数；CD0、CD2分别表示弹身的阻力系数；CDfin、CDwing分别表示翼和舵的阻力系数。
冲压发动机的推力的计算基于文献[12]，对若干工况进行计算后，可将其表示为余气系数、马赫数、高度和攻角的函数，即：
P=f(αf,Ma,h,α)
(8)
2.2 方案弹道模型
为了精确计算不同发射扇面角对应的动力航程，需要建立方案弹道模型，并设计PID控制系统跟踪弹道。反舰导弹常用攻击方式为现在点攻击或者纯方位攻击方式，针对这一特点，设计如图1所示的水平方案弹道。
图1 水平方案弹道示意图
Fig.1 Schematic diagram of the horizontal scheme ballistic channel
O表示发射位置，发射扇面角为导弹初始发射方向和目标方向之间的夹角，用AfT表示，T为目标点，DT为目标距离，XfOZf为发射坐标系，ON表示真北方向，Xf为发射方向。
在助推段和爬升段维持发射扇面角不变。导弹转入高空巡航段后，进行水平方向的机动。其转弯半径为
满足：
为导弹机动过载。
导弹在高空飞行时，采用等马赫数控制，速度视作不变。可根据速度和机动过载求解转弯半径，在完成水平转弯机动后朝向目标飞行。在该过程中，控制系统调整导弹水平速度方向轴向目标方向变化，直至其指向目标点。
采用高低混合弹道，主要飞行过程包括爬升段、高空巡航段、下降段、低空突防段。竖直方案弹道如图2所示。
图2 竖直方案弹道曲线
Fig.2 Vertical scheme ballistic curve
冲压发动机导弹的航程跟发动机性能密切相关，不同的爬升弹道发动机燃耗也不同。根据文献[13]，利用求解燃耗最优的爬升弹道，作为上升段的方案弹道。爬升弹道与高空巡航弹道如图3所示。
图3 优化计算后的爬升段巡航段弹道曲线
Fig.3 Optimize calculated trajectory curve of cruise section
根据文献[14]，下降段采用式(9)中的指数下降模型。
(9)
式中： H0为高空巡航高度； H1为掠海飞行高度； Ljg为预定降高距离； tj为到达预定降高距离的飞行时刻； τ为时间常数。
现在点攻击方式下，可根据发射扇面角和目标距离信息，计算此次攻击的方案弹道模型。注意到冲压发动机导弹的速度在2～4个马赫数，攻击时间短，敌方舰艇机动范围有限。因此采用这种方式设计方案弹道求解动力航程是合理的。
2.3 PID控制模型
为了克服大气环境、发动机燃烧不稳定等诸多扰动因素带来的影响，使导弹能按预定的方案弹道进行飞行，通过设计PID控制系统对导弹的俯仰角和偏航角施加控制[16]。工程上通常对滚转通道采用稳定控制，从而达到对俯仰和偏航通道的去耦效果。进一步根据高度和偏航误差信号，利用PID控制系统，调整舵面，改变气动力，实现对方案弹道的跟踪。误差信号如式(10)，舵面偏转角可由式(11)表示。
(10)
其中，hs(t)表示该时刻方案弹道的飞行高度； h(t)表示当前时刻的高度； zs(t)表示该时刻方案弹道的Z坐标值； z(t)表示当前时刻的Z坐标值。
(11)
其中，{KPy,KPz}表示控制器分别针对俯仰、偏航的比例系数； {KIy,KIz}表示积分系数； {KDy,KDz}表示微分系数。
综上，PID控制系统结构设计如图4所示。
图4 PID反馈结构示意图
Fig.4 PID feedback structure design schemram
2.4 弹道仿真终止条件
对扇面角进行n等分为AfTi, i=1,2,…,n(n越大，航程包络就越精细，但计算量也越大)。在计算某个发射扇面角对应的最远动力航程时，通过设定该方向上不同的目标距离DT确定对应的方案弹道。根据方案弹道，利用龙格库塔积分，进行弹道仿真，记录剩余燃油为零时的坐标位置，并计算发射位置到该点的距离di，若di<DT，则说明该发射扇面角对应的最大航程Rmax_i小于DT。不失一般性，为方便问题的求解，设定总燃油为Δmf=900 kg，将燃油耗尽作为弹道仿真的终止条件。
3 动力航程边界搜索算法设计
在发射扇面内，动力航程远边界的集合可表示为{Rmax_1,Rmax_2,…,Rmax_n}。在对第i个发射扇面角
AfTi计算时，利用黄金分割搜索算法[17]，求解该方向的最大动力航程。
黄金分割法具有收敛速度快等优势。首先确定初始范围为：[a0,b0]，计算黄金分割点，将其设为目标距离DT=a0+0.618(b0-a0)，根据目标距离确定方案弹道，并进行六自由度弹道仿真，根据终止条件判断di与DT的大小，若di<DT,则令b1=DT,a1=a0，进一步有DT=a1+0.618(b1-a1)，重新循环计算，直至求解边界满足精度要求，即bj-aj<ε。
4 动力航程远边界仿真
以发射扇面角30°和10°为例，对其对应的弹道进行仿真计算。从同一位置发射后，发射扇面为30°的弹道曲线需要在Z方向进行更大的水平机动，如图5所示。上升段在工程上一般用姿态控制系统，不进行水平机动。到达巡航高度后按水平方案弹道进行机动，当x方向上满足降高距离Ljg后按竖直方案弹道进行降高。
图5 三维弹道仿真曲线
Fig.5 3D ballistic simulation curve
为方便问题研究，不妨针对发射扇面角范围为：AfT∈[-60°,60°]时进行研究，对其进行等分后，按图6所示流程计算动力航程远边界。仿真结果极坐标如图7所示。当发射扇面角较小时，远边界变化较小。当发射扇面超过30°时，远边界距离大幅增加。
图6 动力航程远边界搜索流程框图
Fig.6 Flow block diagram of power range far boundary search
图7 动力航程远边界极坐标图
Fig.7 Long boundary schematic diagram of power range
注意到，有关空空导弹攻击区的文献[18-20]表明，进入角为180°时的攻击区远边界最大，并随着进入角的减小而减小。这主要是因为进入角越小，水平方向的机动就越大，攻击区边界就越小。
导弹发射扇面角为0°时动力航程远边界较小，总体上随着发射扇面角的增大而增大，如图8所示。
图8 不同发射扇面角对应的动力航程远边界曲线
尽管发射扇面角的增大会增加水平机动，使得轨迹长度增加，将消耗更多的燃油。但是在x方向降高距离Ljg不变的前提下，发射扇面角的增大，也增加了高弹道巡航飞行的距离，从而整体上节约了燃油，增加了导弹的动力航程。
高空巡航段长度的变化可用图9表示，注意到，图8曲线所表示的动力航程增加的趋势与图9曲线所表示的高空巡航段的增长趋势非常一致。
图9 不同发射扇面角对应的高空巡航距离曲线
Fig.9 High-altitude cruise distance curve corresponding to the different emission fan angles
从图8和图9可知，当发射扇面角较小(25°以内)时，高空巡航距离基本不变，而总航程变长，故而射程减小，远边界下降。
当发射扇面角超过25°后，x方向预定降高距离Ljg不变，故而高空巡航段距离变长，其所占全弹道比重增加。在消耗相同燃油时，抵消了总路径变长的影响，射程增大，远边界增加。
因此，得出结论:冲压发动机导弹在高低混合弹道模式下，动力航程远边界的求解具有其特殊性。主要原因在于大发射扇面状态时，高空巡航段距离的增加，总体上抵消了路径变长的影响，使得动力航程远边界增大。
为了使上述研究成果可用于导弹实时求解动力航程远边界，以发射扇面角为自变量，对动力航程远边界进行切比雪夫多项式拟合。通过切比雪夫多项式拟合的途径，能最大限度降低龙格现象，可实现多项式在连续函数的最佳逼近效果。
经过试验得知6阶切比雪夫多项式效果最好，如图10所示。拟合函数式如式(12)。
图10 以发射扇面角为自变量的远边界拟合曲线
Fig.10 Far-boundary fitting curve with the emission fan angle as an independent variable
得到拟合函数后，可以求得任一发射扇面角对应的动力航程远边界，满足作战实时性要求。
(12)
5 结论
在充分考虑冲压发动机导弹一体化性能建模和6自由度弹道方程的基础上，对其动力航程的远边界计算精确建模。合理的确定了方案弹道和控制策略，模型相对误差小，满足工程需求。通过黄金分割法搜索求解动力航程远边界包络，为了满足实时性要求，利用切比雪夫多项式对包络线进行拟合。最大程度避免了拟合过程中的龙格现象，保证了拟合效果。仿真结果表明拟合精度较高、模型误差较小，可为冲压发动机导弹指挥作战提供参考。
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Citation format:WANG Zhiyu, LI Gaochun, XU Boqi, et al.Long-Range Calculation of Dynamic Range for Ramjet Missile[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2021,42(07):73-77,103.