地空导弹火力分配模糊优选模型
Fuzzy Optimal Selection Model of Firepower Distribution for Surface-to-Air Missile
地空导弹火力分配也称目标分配，是防空作战中资源分配问题的一个特殊问题，它的任务是在一段时间T内，分配n枚地空导弹给m个来袭目标，目标是达到射击效能的最大值和保卫目标损失的最小值[1-2]。目前，解决火力分配问题的主要算法有[3]：① 隐枚举法、目标规划法、动态规划法等传统算法；② 神经网络算法、遗传算法、粒子群算法等智能算法；③ 以上两种方法相结合的混合算法。由于衡量地空导弹射击效能的指标多样，并且地空导弹对多个目标的射击过程可看作是一个多阶段的优选过程。因此，可将火力分配问题看作是一个多目标多阶段的模糊优选动态规划问题[4]。该方法能够综合考虑评价射击效能的各指标及权重，便于指挥员根据不同作战需要调整。该方法在对传统算法进行了优化，具备了解决一定“动态”问题的能力，同时又避免了智能算法存在的算法复杂性过高和效率低的问题，便于应用和推广。
1 建立地空导弹射击效能指标体系
评估地空导弹射击效能的指标较多，为方便问题研究，本文主要从目标威胁度、目标杀伤概率、消耗导弹费用、占用火力通道时间、导弹发射和飞行可靠度等5个指标进行讨论。
在反空袭作战中，目标威胁度反映了来袭目标对保卫目标及防空阵地的威胁程度，对地空导弹兵力来说，目标威胁度反映了目标的价值，它是进行火力分配的基础[5]和直接参考[6]。通常，为保证火力分配模型计算中的归一化要求，目标威胁度S取值0到1之间，即Sm∈[0,1]，且
地空导弹的杀伤概率[7]是指武器系统在正常工作状态下导弹毁伤目标的概率，它主要受目标属性、导弹制导精度、引信和战斗部性能、作战环境等因素影响，在杀伤区内的导弹单发杀伤概率p0一般取恒定值[8]。多枚地空导弹对目标的毁伤概率Pk，可根据概率论知识求得：
(1)
式(1)中，DD为地空导弹类型数；ndd为第dd种地空导弹发射导弹数；p0dd为第dd种地空导弹单发命中概率。
该指标反映了武器系统特别是导弹发射系统的自身可靠性，指控系统不仅能够可靠地将发射指令传递给发射控制系统，而且发射控制系统能够控制导弹正常发射，导弹自身的软硬件能够可靠地进行飞行控制完成制导过程。
消耗导弹费用反映了在防空作战中的经济价值因素，该因素主要由消耗不同类型导弹的数量及每种导弹的费用决定。在一次防空作战中，因导弹数量有限，同时考虑到“费效比”的问题，应尽可能降低防空作战的消耗(费用)[9]。
占用火力通道时间是指目标从分配火力通道直至目标被杀伤或目标丢失所持续的时间，可能包括一个或多个发射周期，一个发射周期又包括指挥决策时间、导弹连射时的发射间隔时间、导弹发射的时间、导弹飞行的时间、毁伤效果评定时间[10]。该指标反映了防空作战的时间资源因素。其中，指挥决策时间可根据指挥员经验估计，导弹发射时间和毁伤效果评定时间由武器系统自身性能确定，导弹飞行时间根据目标距离和相对速度确定。
Tzy=Tzh+(n-1)·Tjg+Tfs+Tfx+Tpd
(2)
式(2)中:Tzy为占用火力通道时间;Tzh为指挥决策时间;Tjg为发射间隔时间;Tfs为导弹发射时间;Tfx为导弹飞行时间;Tpd为毁伤效果评定时间。
火力分配优化的目的可以分为两方面，一是对目标的毁伤价值达到最大，二是消耗的资源量最少。二者之间是矛盾的、辩证统一的关系。单枚导弹对目标的毁伤概率可由导弹杀伤概率和导弹发射和飞行可靠度求得：
Ps=p0·R
(3)
式(3)中，Ps为单枚导弹对目标的毁伤概率;R为导弹发射和飞行可靠度。
导弹对目标的毁伤价值：
V=Sm·Pk
(4)
式(4)中，Sm为第m批目标的威胁度。
消耗的资源量可分别由消耗导弹费用和占用火力通道时间来量化。由此，可知地空导弹射击效能指标体系如图1所示。
图1 射击效能指标体系
2 确定方案相对优属度
在射击效能指标体系中，因目标毁伤价值可由其3个影响因素确定，因此，可选取目标毁伤价值、消耗导弹费用、占用火力通道时间分别为优选目标1、2、3。根据以往作战经验和专家评估，利用层次分析法确定各优化目标的指标权重，具体过程本文不作赘述。
设求得的各优化目标的权向量为：
ω=(ω1,ω2,ω3)
指标的相对优属度可根据追求的决策目标，分为效益型、成本型、固定型和区间型[11]，效益型是指追求该指标最大值，成本型是指追求该指标最小值，固定性是指追求该指标趋近一个适中的值，区间型是指追求该指标在一个合理区间内。在射击效能指标中，目标毁伤价值指标追求最大值，属于效益型指标，消耗导弹费用和占用火力通道时间指标追求最小值，属于成本型指标。
本文将地空导弹火力分配给M个目标的问题看作是一个多目标多阶段优选模型。设来袭目标数为M，假设对每一个目标，有C个火力分配方案，对第m(m=1,2,…,M)个来袭目标，分配方案j(j=1,2,…,C)的优选目标i(i=1,2,3)的指标特征值为mxij，则效益型优选目标的指标隶属度为[12]：
(5)
成本型优选目标的指标隶属度为：
(6)
式(5)、(6)中，maxmxij,minmxij分别为全部分配方案在M个分配阶段的最大、最小指标特征值。
由2.2节可得,m阶段3个优化指标在C个不同分配方案情况下的指标特征值形成隶属度矩阵为：
mγ = [mγij]i×j
(7)
式(7)中，i=1,2,3;j=1,2,…,C。
令：
mγj =
得优等方案g=(g1,g2,g3)T和劣等方案b=(b1,b2,b3)T，由欧式距离公式为：
设第m阶段的火力分配方案j称为决策mXj，μ(mXj)表示每个决策对应的相对优属度，可进一步得出火力分配方案的相对优属度计算模型如下[13]：
由此，得相对优属度矩阵：μ =[μ(mXj)]m×j。
3 基于动态规划的优选模型
设策略Ψk = {kX,k + 1X,…,MX}为阶段k至阶段M的决策序列，则火力分配的优化问题就是使得相对优属度之和最大。即：
此时对应的策略Ψ1为最优策略：
由此，运用动态规划方法求解此问题，即运用后向递推方程求解[14]。
(8)
式(8)中，μ(m-1X)表示当前阶段的决策相对优属度;
表示最优子策略。
4 算例分析
在一次反空袭作战中，某地域部署了A、B两型地空导弹系统各1套，用以保卫该地域范围内的重要军事目标对空安全。D日F时刻，空情预警中心发现空袭方使用海上和空中平台采取小批次、小间隔方式发射对地巡航导弹4枚、发射空地导弹2枚，对防空阵地和重要军事目标实施打击。现A、B两型地空导弹系统可用导弹数分别为8枚、4枚。
为研究问题方便，本文作如下假设：
1) 进行火力分配时，目标均位于两型地空导弹武器系统的射击区内；
2) 对同一个目标发射最多4枚、最少1枚导弹实施拦截；
3) 对同一目标发射3枚或4枚导弹时，依据“射-看-射”准则，进行2次连射，第1次连射2枚，第2次分别连射1枚或2枚。
由基本假设可知，地空导弹火力分配方案有14种形式，如表1所示。
表1 对每批次来袭目标可能的火力分配方案
A、B两型地空导弹对空地导弹的单发杀伤概率分别为0.7、0.6，对巡航导弹的单发杀伤概率分别为0.6、0.5，发射和飞行可靠度分别为0.9、0.85，单枚导弹费用分别为800万元、600万元。两型地空导弹武器系统指挥决策时间、发射间隔时间、导弹发射时间、毁伤效果评定时间均为2 s，飞行速度分别为 1 000 m/s、800 m/s，目标威胁度向量为：
S=(0.213 1, 0.196 7, 0.163 9, 0.147 5, 0.131 1)
根据此次作战特点，结合以往战例，经专家评判得到优化目标的权向量ω=(0.8,0.1,0.1)。
1) 根据1.1～1.6节和2.2节所述指标体系及指标隶属度模型，可得毁伤价值、消耗导弹费用、占用火力通道时间等3个优化目标的隶属度矩阵，见表2。
2) 根据2.3节方案优属度计算模型，得到抗击不同目标的火力分配方案相对优属度矩阵，见表3。
3) 根据2.3节，由目标隶属度矩阵得出火力分配方案相对优属度矩阵，见表4。
4) 根据动态规划问题求解原理，运用Matlab软件编程解算，可较为快速地得到最优策略：
此时，相对优属度之和最大，
表2 各火力分配方案优化目标特征值
表3 各火力分配方案优化目标隶属度
表4 各火力分配方案相对优属度
在上述条件下，得出最优火力分配方案：A型地空导弹对01、03、04、05批目标各发射2枚，对06批目标发射1枚，B型地空导弹对02批目标分2次共发射4枚。
该火力分配结论主要受防空作战中优化目标权重、目标威胁度、地空导弹性能参数等因素影响，而优化目标权重确定的依据为不同防空敌我态势下的作战指导原则和指挥员作战决心。因此，模糊优选模型能够科学且有效地将决策者定性判断转化为定量决策。
5 结论
为解决不同型号地空导弹武器系统抗击多批次来袭目标火力分配问题，本文构建了地空导弹火力分配效能指标体系，运用多目标多阶段模糊优选理论，求解火力分配方案相对优属度，采用动态规划算法求得最优解。通过算例解算，验证了该模型在解决地空导弹火力分配问题上的有效性，为防空作战中火力分配决策提供了依据。
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